Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}m{x^3}-（m+1）{x^2}$+（m+2）x，其中m＜0．
（1）求f′（1）的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令x=1即可得到所求值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，并因式分解，列表表示：當(dāng)x變化時(shí)，f（x）與f'（x）的變化，即可得到單調(diào)增區(qū)間；
（3）由已知得f'（x）＞m，即mx²-2（m+1）x+2＞0又m＜0，運(yùn)用二次不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考慮端點(diǎn)的函數(shù)值的符號，解不等式即可求得m的范圍．

解答 解：f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=mx²-2（m+1）x+m+2，
（1）f'（1）=m-2（m+1）+m+2=0；
（2）由（1）知，$f'（x）=m{x^2}-2（m+1）x+m+2=m（x-1）[x-（1+\frac{2}{m}）]$，
當(dāng)m＜0時(shí)，有$1＞1+\frac{2}{m}$，當(dāng)x變化時(shí)，f（x）與f'（x）的變化如下表：

x	（-∞，1+$\frac{2}{m}$）	1+$\frac{2}{m}$	（1+$\frac{2}{m}$，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

由上表知，當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）在（-∞，1+$\frac{2}{m}$）單調(diào)遞減，在（1+$\frac{2}{m}$，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1+$\frac{2}{m}$，1）；
（3）由已知得f'（x）＞m，即mx²-2（m+1）x+2＞0又m＜0，
所以${x^2}-\frac{2}{m}（m+1）x+\frac{2}{m}＜0$，即${x^2}-\frac{2}{m}（m+1）x+\frac{2}{m}＜0，x∈[-1，1]$，①
設(shè)$g（x）={x^2}-2（1+\frac{1}{m}）x+\frac{2}{m}$，
其函數(shù)圖象開口向上，由題意知①式恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}g（-1）＜0\\ g（1）＜0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}1+2+\frac{2}{m}+\frac{2}{m}＜0\\-1＜0\end{array}\right.$，
解之得$-\frac{4}{3}＜m又m＜0$，
所以$-\frac{4}{3}＜m＜0$，
即m的取值范圍為（-$\frac{4}{3}$，0）..

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查二次不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．