Question

3．在極坐標(biāo)系中，曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=-2cosθ，ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=1
（1）求曲線C₁和C₂的公共點的個數(shù)；
（2）過極點作動直線與曲線C₂相交于點Q，在OQ上取一點P，使|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{OQ}$|=2，求點P的軌跡，并指出軌跡是什么圖形．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁和C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，即可求出公共點的個數(shù)；
（2）設(shè)P（ρ，θ），Q（ρ₁，θ），則ρρ₁=2，可得ρ₁=$\frac{2}{ρ}$，利用C₂的極坐標(biāo)方程，可得結(jié)論．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=-2cosθ可得ρ²=-2ρcosθ，
即可得到x²+y²=-2x，即（x+1）²+y²=1；
ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=1，
可化為$\frac{1}{2}$ρcosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=1，
即x-$\sqrt{3}$y-2=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-1-\sqrt{3}-2|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$＞1，
∴曲線C₁和C₂的公共點的個數(shù)為0；
（2）設(shè)P（ρ，θ），Q（ρ₁，θ），則ρρ₁=2，
∴ρ₁=$\frac{2}{ρ}$，
∵ρ₁cos（θ+$\frac{π}{3}$）=1，
∴$\frac{2}{ρ}$cos（θ+$\frac{π}{3}$）=1，
∴2cos（θ+$\frac{π}{3}$）=ρ，
∴cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=ρ，
∴x²+y²=x-$\sqrt{3}$y，
∴（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1，軌跡是以（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，1為半徑的圓．

點評 本題考查軌跡方程，考查極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，屬于中檔題．