Question

12．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，且a_n+1=3a_n-t（n-1）（t∈R），若數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n=-n²，且a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n）對(duì)任意的n∈N^*恒成立．
（1）求t的值；
（2）設(shè)數(shù)列{a_nb_n+b_n²}的前n項(xiàng)和為S_n，問(wèn)是否存在互不相等且大于2的正整數(shù)m，k，r，使得m，k，r成等差數(shù)列的同時(shí)S_m+1，S_k+1，S_r+1成等比數(shù)列？若存在，求出m，k，r的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將b_n=T_n-T_n-1、b_n+1代入a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n），整理并與a_n+1=3a_n-t（n-1）（t∈R）比較即得結(jié)論；
（2）通過(guò)a₁、b₁及a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n）、b_n=-2n+1，可得a_nb_n+b_n²=（-2n+1）•3^n-1，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計(jì)算出Q_n=3⁰+3¹+3²+…+3^n-1、利用錯(cuò)位相減法計(jì)算出P_n=1×3⁰+2×3¹+…+n×3^n-1，進(jìn)而可得S_n=（1-n）•3ⁿ-1，假設(shè)存在互不相等且大于2的正整數(shù)m，k，r滿足條件，得出矛盾即可．

解答 解：（1）∵數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n=-n²，
∴b_n=T_n-T_n-1=-n²+（n-1）²=-2n+1，
∴b_n+1=-2（n+1）+1=-2n-1，
又∵a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n），
∴a_n+1+（-2n-1）=3[a_n+（-2n+1）]，
整理得：a_n+1=3a_n-4（n-1），
又∵a_n+1=3a_n-t（n-1）（t∈R），
∴t=4；
（2）結(jié)論：不存在滿足條件的正整數(shù)m，k，r．
理由如下：
∵a₁=2，b₁=T₁=-1，
∴a₁+b₁=2-1=1，
又∵a_n+1+b_n+1=3（a_n+b_n），
∴a_n+b_n=1•3^n-1，
又∵b_n=-2n+1，
∴a_nb_n+b_n²=（a_n+b_n）b_n=（-2n+1）•3^n-1，
記Q_n=3⁰+3¹+3²+…+3^n-1=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$•3ⁿ-$\frac{1}{2}$，
P_n=1×3⁰+2×3¹+…+n×3^n-1，
則3P_n=1×3¹+2×3²…+n×3ⁿ，
兩式相減得：-2P_n=3⁰+3¹+…+3^n-1-n•3ⁿ=（$\frac{1}{2}$-n）•3ⁿ-$\frac{1}{2}$，
∴S_n=Q_n-2P_n=（1-n）•3ⁿ-1，
假設(shè)存在互不相等且大于2的正整數(shù)m，k，r，使得m，k，r成等差數(shù)列，
則m=k-d，則r=k+d，
∴S_m+1=（1-m）•3^m=（1+d-k）•3^k-d，
S_k+1=（1-k）•3^k，
S_r+1=（1-r）•3^r=（1-d-k）•3^k+d，
又∵S_m+1，S_k+1，S_r+1成等比數(shù)列，
∴（S_k+1）²=（S_m+1）•（S_r+1），
即（1-k）²•3^2k=（1-d-k）•（1+d-k）•3^k-d+k+d，
整理得：（1-k）²=（1-k）²-d²，
解得：d=0，
顯然假設(shè)不成立，
即不存在滿足條件的正整數(shù)m，k，r．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列遞推式的綜合題，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．