Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=2^x+2-4的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n；
（3）求證：$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{4}-1}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$＜$\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求得S_n=2ⁿ⁺²-4，再由n=1時(shí)，a₁=S₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和；
（3）由$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n+2}-1}$＜$\frac{{2}^{n+1}-1}{2（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}$，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）點(diǎn)（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=2^x+2-4的圖象上，
可得S_n=2ⁿ⁺²-4，
則a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺²-4-（2ⁿ⁺¹-4）=2ⁿ⁺¹，
而a₁=S₁=2³-4=4，上式也成立．
可得a_n=2ⁿ⁺¹，n∈N*；
（2）b_n=a_n•log₂a_n=2ⁿ⁺¹•log₂2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
前n項(xiàng)的和T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
2T_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，
相減可得-T_n=2•2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（n+1）•2ⁿ⁺²
=8+$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-n+1）•2ⁿ⁺²，
化簡(jiǎn)可得T_n=n•2ⁿ⁺²；
證明：（3）$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n+2}-1}$=$\frac{{2}^{n+1}-1}{2（{2}^{n+1}-\frac{1}{2}）}$＜$\frac{{2}^{n+1}-1}{2（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}$，
則$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$+$\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{4}-1}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用n=1時(shí)，a₁=S₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，以及數(shù)列不等式的證明，注意運(yùn)用放縮法，考查推理能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題．