Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象過點(diǎn)P（1，f（1）），且在點(diǎn)P處的切線方程為8x-y-6=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意得方程組解出a，b的值即可，（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式，即可求出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在切線上，
所以8-f（1）-6=0，即f（1）=2．
即有2=1+a+b，化簡得a+b①，
又因?yàn)楹瘮?shù)圖象在P點(diǎn)處切線的斜率為8，
所以f'（1）=8，
因?yàn)閒'（x）=3x²+2ax+b，
所以8=3+2a+b，化簡得2a+b②，
聯(lián)立①、②解得a=4，b=-3．
（2）由（1）得f（x）=x³+4x²-3x，
所以f'（x）=3x²+8x-3，
由f'（x）＞0得x＜-3，或x＞

1

3

．
由f'（x）＜0得-3＜x＜

1

3

．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3），(

1

3

，+∞)；
單調(diào)遞減區(qū)間為(-3，

1

3

)．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，切線的方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．