Question

20．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（λcosα，λsinα）（λ≠0），$\overrightarrow{OB}$=（-sinβ，cosβ），其中O為坐標(biāo)原點．
（1）若α-β=$\frac{π}{6}$，且λ＜0，求向量$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角；
（2）若|$\overrightarrow{AB}$|≥2|$\overrightarrow{OB}$|對于任意實數(shù)α，β都成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)它們的夾角為θ，利用向量的數(shù)量積公式表示出cosθ，將已知條件代入，利用特殊角的三角函數(shù)值求出兩個向量的夾角．
（2）利用向量模的坐標(biāo)公式將已知條件轉(zhuǎn)化為λ²-2λsin（α-β）+1≥4對任意的α，β恒成立，再結(jié)合正弦函數(shù)的有界性，建立關(guān)于λ的不等式組，解之可得滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍

解答 解：（1）設(shè)它們的夾角為θ，∵向量$\overrightarrow{OA}$=（λcosα，λsinα）（λ≠0），$\overrightarrow{OB}$=（-sinβ，cosβ），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-λcosαsinβ+λsinαcosβ=λsin（α-β）=λsin$\frac{π}{6}$=$\frac{λ}{2}$，
|$\overrightarrow{OA}$|=|λ|=-λ，|$\overrightarrow{OB}$|=1，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB|}}$=$\frac{\frac{λ}{2}}{-λ×1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{2π}{3}$，
（2）∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{OA}$|²-2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1+λ²-2λsin（α-β），
∵|$\overrightarrow{AB}$|≥2|$\overrightarrow{OB}$|對于任意實數(shù)α，β都成立，
∴λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0對任意實數(shù)α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}-2λ-3≥0}\\{{λ}^{2}+2λ-3≥0}\end{array}\right.$
解得λ≤-3或λ≥3．

點評 本題綜合了平面向量的數(shù)量積、和與差的三角函數(shù)以及不等式恒成立等知識點，屬于難題．解題時應(yīng)該注意等價轉(zhuǎn)化和函數(shù)方程思想的運用．