Question

11．（1）已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．求此橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（3，-2）且與橢圓4x²+9y²=36有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）先根據(jù)橢圓4x²+9y²-36=0求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得橢圓的半焦距c，根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)（3，-2）求得a，最后根據(jù)a和c與a的關(guān)系求得a和b即可．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a=2，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）橢圓4x²+9y²=36的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，焦點(diǎn)F₁（-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），
設(shè)橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∴橢圓的半焦距c=$\sqrt{5}$，即a²-b²=5
∵$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}-5}=1$，
∴解得：a²=15，b²=10
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．