Question

11．已知點A、B、C的坐標分別為（0，1，2），（1，2，3），（1，3，1）．
（1）若$\overrightarrow{AD}=（3，y，1）$，且$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{AC}$，求y的值；
（2）若D的坐標為（x，5，3），且A，B，C，D四點共面，求x的值．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{AC}$，可得$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$=0，解得y即可．
（2）A，B，C，D四點共面，可得存在唯一一對實數m，n，使得$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，解出即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}$=（1，2，-1），∵$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$=3+2y-1=0，解得y=-1．
（2）$\overrightarrow{AC}$=（1，2，-1），$\overrightarrow{AB}$=（1，1，1），$\overrightarrow{AD}$=（x，4，1），
∵A，B，C，D四點共面，
∴存在唯一一對實數m，n，使得$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=m+n}\\{4=m+2n}\\{1=m-n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{m=2}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴x=3．

點評 本題考查了向量垂直與數量積的關系、平面向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．