Question

20．已知一切x，y∈R，不等式x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$-a≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，6]．

Answer 1

分析 將x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$配方得（x-y）²+（$\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}$）²-2，進而可得x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$的最小值為-6，進而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$=（x-y）²+（$\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}$）²-2，
令z=（x-y）²+（$\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}$）²，
則z表示A（x，-$\frac{9}{x}$）點與B（y，$\sqrt{2-{y}^{2}}$）兩點的距離d的平方，
由A為雙曲線y=-$\frac{9}{x}$上一點，B為半圓x²+y²=2（y≥0）上一點，
在同一坐標系中畫出兩曲線的圖象，如下圖所示：

可以看出兩點間距離的最小值為2$\sqrt{2}$，
即距離的平方為8，
故z≥8，
∴x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$=（x-y）²+（$\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}$）²-2≥6，
∴a≤6，所以實數(shù)a的取值范圍是（-∞，6]，
故答案為：（-∞，6]

點評 本題考查的知識點是恒成立問題，將其轉(zhuǎn)化為最值問題是解答的關(guān)鍵．