Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=$\frac{k}{x}$（k≠0）．定義函數(shù)h（x）=f（x）•g（x），且函數(shù)h（x）為定義域上的奇函數(shù)，f（0）=4，g（1）=1．
（1）當(dāng)a=4時，h（x）=4x+$\frac{4}{x}$；
（2）若函數(shù)h（x）在區(qū)間（-3，-2）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，且0＜a＜$\frac{4}{3}$，則函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值為5；最小值為4．

Answer 1

分析 （1）由題意，a=4，c=4，k=1，h（x）=f（x）•g（x）=（4x²+bx+4）•$\frac{1}{x}$，利用函數(shù)h（x）為定義域上的奇函數(shù)可得b，即可求出h（x）；
（2）確定h（x）=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間]1，2]上單調(diào)遞減，[2，3]上單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，a=4，c=4，k=1，h（x）=f（x）•g（x）=（4x²+bx+4）•$\frac{1}{x}$，
∵函數(shù)h（x）為定義域上的奇函數(shù)，∴b=0，
∴h（x）=4x+$\frac{4}{x}$；
（2）h（x）=f（x）•g（x）=（ax²+4）•$\frac{1}{x}$=ax+$\frac{4}{x}$，
∵函數(shù)h（x）在區(qū)間（-3，-2）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，且0＜a＜$\frac{4}{3}$，
∴a=1，∴h（x）=x+$\frac{4}{x}$
∴h（x）=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間]1，2]上單調(diào)遞減，[2，3]上單調(diào)遞增，
∴x=2時，h（x）取得最小值為4，x=1時，h（x）取得知最大值為5．
故答案為：4x+$\frac{4}{x}$；5，4．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．