Question

13．正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}，若2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…log₃a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過a₃²=9a₂a₆=9a₃a₅計(jì)算可知$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=q²=$\frac{1}{9}$，進(jìn)而可知公比q=$\frac{1}{3}$，通過2a₁+3a₂=1可知a₁=$\frac{1}{3}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知log₃a_n=-n，從而b_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，裂項(xiàng)可知$\frac{1}{_{n}}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，a₃²=9a₂a₆=9a₃a₅，
∴$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=q²=$\frac{1}{9}$，
解得：q=$\frac{1}{3}$或q=-$\frac{1}{3}$（舍），
又∵2a₁+3a₂=1，即2a₁+3$•\frac{1}{3}•$a₁=1，
∴a₁=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴其通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）可知log₃a_n=log₃$\frac{1}{{3}^{n}}$=-n，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+log₃a₃+…log₃a_n
=-1-2-…-n
=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n=-2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=-2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=-$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．