設(shè)橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線交橢圓于兩點，為橢圓上一點，求面積的最大值．

（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，橢圓的長軸為及，求得的值，進而求得橢圓的方程；（Ⅱ）將直線與（Ⅰ）求得的橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和，利用弦長公式及點到直線的距離，求得的面積，同時，進而求得的面積的最大值.

試題解析：（Ⅰ）雙曲線的離心率為 （1分），

則橢圓的離心率為 （2分）， 2a=4， （3分）

由 ，故橢圓M的方程為． （5分）

（Ⅱ）由，得， （6分）

由，得﹣2＜m＜2

∵，． （7分）

∴= （9分）

又P到AB的距離為． （10分）

則

， （12分）

當(dāng)且僅當(dāng)取等號 （13分）

∴． （14分）

考點：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.韋達定理；3.弦長公式.

練習(xí)冊系列答案
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如圖，已知雙曲線：的右頂點為為坐標(biāo)原點，以為圓心的圓與雙曲線的某漸近線交于兩點.若且，則雙曲線的離心率為

A． B． C． D．

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如果實數(shù)滿足：,則的取值范圍是 ， 的最大值為 ．

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設(shè)，那么

A． B．

C． D．

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若函數(shù)具有奇偶性，則 ，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 。

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點是雙曲線左支上一點，其右焦點為，若是線段的中點且到坐標(biāo)原點距離為，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．

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（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，右焦點為，、是橢圓的左、右頂點，是橢圓上異于、的動點，且面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在一定點（），使得當(dāng)過點的直線與曲線相交于，兩點時，為定值？若存在，求出定點和定值；若不存在，請說明理由.

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