已知?jiǎng)又本與橢圓交于兩不同點(diǎn),且△的面積=,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)證明均為定值;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,求的最大值;
(3)橢圓上是否存在點(diǎn),使得?若存在,判斷△的形狀;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)證明詳見(jiàn)解析;(2);(3)不存在點(diǎn)滿(mǎn)足要求.

解析試題分析:(1)先檢驗(yàn)直線斜率不存在的情況,后假設(shè)直線的方程,利用弦長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng),利用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)到直線的距離,根據(jù)三角形的面積公式,即可求得均為定值;(2)由(1)可求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo),代入并利用基本不等式求最值;(3)假設(shè)存在,使得,由(1)得,,從而求得點(diǎn)的坐標(biāo),可以求出直線的方程,從而得到結(jié)論.
試題解析:(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),P,Q兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),所以
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/af/1/12see3.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上,因此   ①
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/f8/6/1q5th3.png" style="vertical-align:middle;" />所以   ②
由①、②得,此時(shí)     2分
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為
由題意知,將其代入,得
其中 (*)

所以
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為
所以

,整理得,且符合(*)式
此時(shí)

綜上所述,結(jié)論成立         5分
(2)解法一:
(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由(I)知
因此               6分
(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),由(I)知

所以

所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立
綜合(1)(2)得的最大值為             9分
解法二:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/e0/f/iuqwt.png" style="vertical-align:middle;" />

所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
因此的最大值為                   9分
(3)橢圓C上不存在三點(diǎn),使得 10分
證明:假設(shè)存在滿(mǎn)足
由(I)得

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知AB,C是橢圓Wy2=1上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)BW的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積;
(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足:,且
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)已知圓W: 的切線與軌跡相交于P,Q兩點(diǎn),求證:以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C:的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,3),M(x,4)(x>0)為橢圓C上一點(diǎn),△MOF1的面積為.
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 是否存在平行于OM的直線l,使得直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn),點(diǎn)A、B分別是橢圓C長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于軸上方,.

(1)求橢圓C的方程;
(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)M是直角三角PAF的外接圓圓心,求橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

求以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知橢圓 的離心率為 ,點(diǎn) 為其下焦點(diǎn),點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò) 的直線 (其中)與橢圓 相交于兩點(diǎn),且滿(mǎn)足:.

(1)試用  表示 ;
(2)求  的最大值;
(3)若 ,求  的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知曲線.
(1)若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓,求的取值范圍;
(2)設(shè),過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若為直角三角形,求直線的斜率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓)的右焦點(diǎn)為,離心率為.
(Ⅰ)若,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),分別為線段的中點(diǎn). 若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.

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