Question

15．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A₁B=1．
（1）求棱AA₁與BC所成的角的大�。�
（2）在棱B₁C₁上確定一點(diǎn)P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AA₁與棱BC所成的角的大�。�
（2）P為棱B₁C₁上一點(diǎn)，求出平面PAB的法向量和平面ABA₁的法向量，利用向量法能求出P為棱B₁C₁中點(diǎn)．

解答 解：（1）如圖，以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（1，0，0），B（0，1，0），A₁（0，1，1），B₁（0，2，1），
$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（1，-1，0）$，（3分）
∴$cos＜\overrightarrow{A{A_1}}，\overrightarrow{BC}＞=\frac{{\overrightarrow{A{A_1}}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{A{A_1}}}||{\overrightarrow{BC}}|}}=\frac{-1}{{\sqrt{2}•\sqrt{2}}}=-\frac{1}{2}$，
故AA₁與棱BC所成的角是$\frac{π}{3}$．
（2）P為棱B₁C₁上一點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{{B_1}P}=λ\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（λ，-λ，0）$，則P（λ，2-λ，1），
設(shè)平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{AP}=（λ，2-λ，1）$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{λx+z=0}\\{y=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{z=-λx}\\{y=0}\end{array}}\right.$，則$\overrightarrow{n_1}=（1，0，-λ）$，（9分）
而平面ABA₁的法向量是$\overrightarrow{n_2}=（1，0，0）$，
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{1}{{\sqrt{1+{λ^2}}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，解得$λ=\frac{1}{2}$，
即P為棱B₁C₁中點(diǎn)，其坐標(biāo)為$P（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，1）$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查異南在線所成角的大小的求法，考查滿足條件的瞇的位置的確定，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．