Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，令，，則可得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步得到函數(shù)，則可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）由題意有，當(dāng)時(shí)，顯然無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即的根的個(gè)數(shù)，即即，設(shè)，求出的導(dǎo)數(shù)，分析出的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的零點(diǎn)的情況.

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，

設(shè)，，則

令，則，令，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，即.

令，則，令，則，

因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即的根的個(gè)數(shù).

當(dāng)時(shí)，在上恒有成立，所以無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)， ，即

即，設(shè)

設(shè)，

由，可得，，可得

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又當(dāng)時(shí)，，所以，，則

即當(dāng)時(shí)，.

又設(shè)，則.

令，得，，得.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.

所以

由洛必達(dá)法則有所以當(dāng)時(shí)，，大致圖象如圖.

(或者由冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的變化速度比冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)快得多，也可以說(shuō)明以當(dāng)時(shí)，)

當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).