Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°且PA=AB，則直線(xiàn)AB與平面PBC所成角的正弦值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，過(guò)點(diǎn)O平行于A(yíng)P的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線(xiàn)AB與平面PBC所成角的正弦值．

解答： 解：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，
過(guò)點(diǎn)O平行于A(yíng)P的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意知：P（

3

，0，2），B（0，1，0），
C（-

3

，0，0），A（

3

，0，0），
則

AB

=(-

3

，1，0)，

PB

=(-

3

，1，-2)，

PC

=(-2

3

，0，-2)，
設(shè)平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PB =- 3 x+y-2z=0 n • PC =-2 3 x-2z=0

，
取x=

3

，得

n

=(

3

，9，-3)，
設(shè)直線(xiàn)AB與平面PBC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

AB

，

n

＞|=|

-3+9+0

4 • 93

|=

93

31

．
∴直線(xiàn)AB與平面PBC所成角的正弦值為

93

31

．
故答案為：

93

31

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．