Question

19．某單位有200人，其中100人經(jīng)常參加體育鍛煉，其余人員視為不參加體育鍛煉．在一次體檢中，分別對經(jīng)常參加體育鍛煉的人員與不參加體育鍛煉的人員進(jìn)行檢查．按照身體健康與非健康人數(shù)統(tǒng)計后，構(gòu)成如下不完整的2×2列聯(lián)表：

	健康	非健康	總計
經(jīng)常參加體育鍛煉	p
不參加體育鍛煉	q		100
總計			200

已知p是（1+2x）⁵展開式中的第三項(xiàng)系數(shù)，q是（1+2x）⁵展開式中的第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．
（Ⅰ）求p與q的值；
（Ⅱ）請完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷若按99%的可靠性要求，能否認(rèn)為“身體健康與經(jīng)常參加體育鍛煉有關(guān)”．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即可求p與q的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得p=40，q=10，可完成2×2列聯(lián)表，求出K²，與臨界值比較，即可得出按99%的可靠性要求，能認(rèn)為“身體健康與經(jīng)常參加體育鍛煉有關(guān)”．

解答 解：（Ⅰ）∵（1+2x）⁵的展開式通項(xiàng)是T_r+1=C₅^r2^rx^r，…（1分）
∴展開式的第三項(xiàng)是：T₂₊₁=C₅²2²x²=40x²，
即第三項(xiàng)系數(shù)是p=40．                                           …（3分）
又∵展開式的第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C₅³，
∴q=C₅³=10．                                                   …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得p=40，q=10，則

	健康	非健康	總計
經(jīng)常參加體育鍛煉	40	60	100
不參加體育鍛煉	10	90	100
總計	50	150	200

…（8分）
K²=$\frac{200×（40×90-10×60）^{2}}{50×150×100×100}$=24＞6.635，…（11分）
P（K²≥6.635）=0.010，
所以按照99%的可靠性要求，能夠判斷“身體健康與經(jīng)常參加體育鍛煉有關(guān)”． …（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，獨(dú)立性的檢驗(yàn)，屬于中檔題．