Question

6．某學(xué)校用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取了100名同學(xué)，對其日均課外閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：

t	[0，15）	[15，30）	[30，45）	[45，60）	[60，75）	[75，90）
男同學(xué)人數(shù)	7	11	15	12	2	1
女同學(xué)人數(shù)	8	9	17	13	3	2

若將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”．
（1）將頻率視為概率，估計(jì)該校4000名學(xué)生中“讀書迷”有多少人？
（2）從已抽取的8名“讀書迷”中隨機(jī)抽取4位同學(xué)參加讀書日宣傳活動．
（i）求抽取的4位同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率；
（ii）記抽取的“讀書迷”中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)該校4000名學(xué)生中“讀書迷”有x人，根據(jù)比例關(guān)系列出方程求出x的值即可；
（2）（�。├�用對立事件的概率計(jì)算抽取的4名同學(xué)既有男同學(xué)，又有女同學(xué)的概率；
（ⅱ）根據(jù)題意得出X的可能取值，計(jì)算對應(yīng)的概率，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）設(shè)該校4000名學(xué)生中“讀書迷”有x人，
則$\frac{8}{100}=\frac{x}{4000}$，解得x=320，
所以該校4000名學(xué)生中“讀書迷”約有320人；
（2）（�。┏槿〉�4名同學(xué)既有男同學(xué)，又有女同學(xué)的概率為：
$P=1-\frac{C_5^4}{C_8^4}=\frac{13}{14}$；
（ⅱ）X可取為0，1，2，3；
則$P（{X=0}）=\frac{C_5^4}{C_8^4}=\frac{1}{14}$，
$P（{X=1}）=\frac{C_3^1C_5^3}{C_8^4}=\frac{3}{7}$，
$P（{X=2}）=\frac{C_3^2C_5^2}{C_8^4}=\frac{3}{7}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$；
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

數(shù)學(xué)期望為$E（X）=0×\frac{1}{14}+1×\frac{3}{7}+2×\frac{3}{7}+3×\frac{1}{14}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了古典概型的概率計(jì)算問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．