Question

1．某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%，試解答下面的問(wèn)題：
（1）寫出該城市人口總數(shù)y（萬(wàn)人）與年數(shù)x（年）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)（精確到0.1萬(wàn)人）；
（3）計(jì)算大約多少年以后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人（精確到1年）．（1.01210=1，.127，1.01215=1.196，1.01216=1.210）
2009年12月20日是世界人口日：
（1）世界人口在過(guò)去40年內(nèi)翻了一番，問(wèn)每年人口平均增長(zhǎng)率是多少？
（2）我國(guó)人口在2009年底達(dá)到12.48億，若將人口平均增長(zhǎng)率控制在1%以內(nèi)，則我國(guó)人口在2019年底至多有多少億？
以下數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)使用：

數(shù)N	1.010	1.015	1.017	1.310	2.000
對(duì)數(shù)lgN	0.004 3	0.006 5	0.007 3	0.117 3	0.301 0
數(shù)N	3.000	5.000	12.48	13.11	13.78
對(duì)數(shù)lgN	0.477 1	0.699 0	1.096 2	1.117 6	1.139 2

Answer 1

分析 （1）選擇指數(shù)函數(shù)模型即可求得城市人口總數(shù)y（萬(wàn)人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）對(duì)于（1）中求得的函數(shù)式，當(dāng)x=10時(shí)，即可計(jì)算10年后該城市的人口總數(shù)；
（3）在（1）求得的解析式中，當(dāng)y=120時(shí)，求得的x的值即為大約多少年后該城市將達(dá)到120萬(wàn)人．
（1）假設(shè)每年人口平均增長(zhǎng)率是x%，根據(jù)世界人口在過(guò)去40年內(nèi)翻了一番，然后取對(duì)數(shù)求出所求即可；
（2）根據(jù)題意可知是等比數(shù)列模型，則我國(guó)人口在2019年底至多有12.48（1+1%）¹⁰；

解答 解：（1）1年后該城市人口總數(shù)為y=100+100×1.2%=100×（1+1.2%），
2年后該城市人口總數(shù)為y=100×（1+1.2%）+100×（1+1.2%）×1.2%=100×（1+1.2%）2，
3年后該城市人口總數(shù)為y=100×（1+1.2%）2+100×（1+1.2%）2×1.2%
=100×（1+1.2%）2×（1+1.2%）
=100×（1+1.2%）3．…
x年后該城市人口總數(shù)為y=100×（1+1.2%）x（x∈N*）．
（2）10年后人口總數(shù)為100×（1+1.2%）10≈112.7（萬(wàn)人）．
（3）設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人，
即100×（1+1.2%）x=120，x=log1.0121.20≈16（年）．
因此，大約16年以后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人．
（1）假設(shè)每年人口平均增長(zhǎng)率是x%
∵世界人口在過(guò)去40年內(nèi)翻了一番
∴（1+x%）⁴⁰=2
則40lg（1+x%）=lg2，∴每年人口平均增長(zhǎng)率為1.7%；
（2）依題意，y≤12.48（1+1%）¹⁰，得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2．
∴y≤13.78，故人口至多有13.78億．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、指數(shù)方程等，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．