Question

在△ABC中，∠B=

5

12

π，D是BC邊上任意一點(diǎn)（D與B、C不重合），且

AC

²+

BC

²-

AD

²=

BD

•

DC

-2

AC

•

CB

，則∠A等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：作 AO⊥BC，垂足為 O，以 BC 所在直線為 x 軸，以 OA 所在直線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè) A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．由

AC

²+

BC

²-

AD

²=

BD

•

DC

-2

AC

•

CB

，可得

AC

²+

BC

²-2

AC

•

BC

=

AD

2+

BD

•

DC

，化為

AB

2=

AD

2+

BD

•

DC

，化簡(jiǎn)可得b=-c，進(jìn)而得出．

解答： 解：作 AO⊥BC，垂足為 O，
以 BC 所在直線為 x 軸，以 OA 所在直線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系．
設(shè) A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．
∵

AC

²+

BC

²-

AD

²=

BD

•

DC

-2

AC

•

CB

，
∴

AC

²+

BC

²-2

AC

•

BC

=

AD

2+

BD

•

DC

，
∴

AB

2=

AD

2+

BD

•

DC

，
∴b²+a²=d²+a²+（d-b）（c-d），
即（b-d）（b+d）=（d-b）（d-c），
又b-d≠0，
∴b+d=d-c，
∴b=-c，
∴點(diǎn)B（b，0）和C（c，0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴△ABC為等腰三角形．
∴AB=AC，∵∠B=

5π

12

，
∴∠A=π-

5

12

π×2=

π

6

．
故答案為：

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、余弦定理、等腰三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．