【題目】凸多面體的每個(gè)面均為三角形，每條棱上均標(biāo)記字母之一，且每個(gè)面的三條邊上恰各有一個(gè)。對(duì)每一個(gè)面，當(dāng)旋轉(zhuǎn)多面體使該面在我們眼前時(shí)，按照字母順序觀察其三邊，若是逆時(shí)針方向，則稱其為正面；否則，稱其為反面。證明：正面與反面的數(shù)目之差能被4整除。

【答案】見解析

【解析】

考慮標(biāo)記的棱，將其中點(diǎn)染紅，于是，得到若干個(gè)紅點(diǎn).任取一條含紅點(diǎn)的棱，有兩個(gè)面以其為一條邊（如圖），取一個(gè)面（右），該面另兩條邊有一條標(biāo)記.

考慮以棱為邊的另一個(gè)面，該面又一條棱含紅點(diǎn)，用虛線聯(lián)結(jié)這兩個(gè)紅點(diǎn)，再取另一面（左），也會(huì)有另一個(gè)紅點(diǎn)與點(diǎn)相連.于是，任一紅點(diǎn)均連出兩條線與別的紅點(diǎn)相連.從而，形成若干個(gè)以紅點(diǎn)為頂點(diǎn)的圈.

再考慮棱，也會(huì)得到若干以藍(lán)點(diǎn)（藍(lán)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)）為頂點(diǎn)的圈.

由于紅圈、籃圈的邊均要穿過一條棱，將棱根據(jù)其被穿過的情形分為如圖所示的三種類型：

其中，圖（丙）的兩個(gè)紅點(diǎn)同上或同下，連線時(shí)讓它們不相交；而圖中（甲）、（乙）連線時(shí)相交，且其交點(diǎn)不是現(xiàn)有的紅點(diǎn)或藍(lán)點(diǎn).

設(shè)三種類型的數(shù)目分別為.則正面數(shù)目為，反面數(shù)目為，且為紅圈與籃圈的交點(diǎn)數(shù).

因?yàn)槿εc圈的交點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，所以，.

故正面數(shù)與反面數(shù)之差能被4整除.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】針對(duì)2019年“雙十—”網(wǎng)上購(gòu)物消費(fèi)情況，規(guī)定：雙十一當(dāng)天購(gòu)物消費(fèi)金額不低于600元的網(wǎng)購(gòu)者為“剁手黨”，低于600元的網(wǎng)購(gòu)者為“理智消費(fèi)者”.某興趣小組對(duì)雙十一當(dāng)天網(wǎng)購(gòu)者隨機(jī)抽取了100名進(jìn)行抽樣分析，得到如下統(tǒng)計(jì)圖表(單位：人)：

女性

男性

總計(jì)

剁手黨

50

5

55

理智購(gòu)物者

30

15

45

總計(jì)

80

20

100

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為“剁手黨”與性別有關(guān)？

（2）現(xiàn)從抽取的80名女性網(wǎng)購(gòu)者中按照分層抽樣的方法選出8人，然后從選出8人中隨機(jī)選出3人進(jìn)行調(diào)查，選出的剁手黨人數(shù)為2時(shí)的概率.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

參考公式：，其中.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；

（2）寫出的單調(diào)區(qū)間；

（3）寫出在區(qū)間上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】畢業(yè)季有位好友欲合影留念，現(xiàn)排成一排，如果：

（1）、兩人不排在一起，有幾種排法？

（2）、兩人必須排在一起，有幾種排法？

（3）不在排頭，不在排尾，有幾種排法？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，完成下面三個(gè)小題．

（1）若數(shù)字允許重復(fù)，可以組成多少個(gè)不同的五位偶數(shù)；

（2）若數(shù)字不允許重復(fù)，可以組成多少個(gè)能被5整除的且百位數(shù)字不是3的不同的五位數(shù)；

（3）若直線方程中的a，b可以從已知的六個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字，則直線方程表示的不同直線共有多少條?

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有一段長(zhǎng)度為的木棍，希望將其鋸成盡可能多的小段，要求每一小段的長(zhǎng)度都是整數(shù)，并且任何一個(gè)時(shí)刻，當(dāng)前最長(zhǎng)的一段都嚴(yán)格小于當(dāng)前最短的一段長(zhǎng)度的2倍，記對(duì)符合條件時(shí)的最多小段數(shù)為，則（ ）。

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】 山東省《體育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以學(xué)校為單位進(jìn)行體育測(cè)試，某校對(duì)高三1班同學(xué)按照高考測(cè)試項(xiàng)目按百分制進(jìn)行了預(yù)備測(cè)試，并對(duì)50分以上的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示，若90~100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人.

（Ⅰ）請(qǐng)估計(jì)一下這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；

（Ⅱ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績(jī)從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中任意選出兩人，形成一個(gè)小組.若選出的兩人成績(jī)差大于20，則稱這兩人為“幫扶組”，試求選出的兩人為“幫扶組”的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實(shí)數(shù)的值.

（2）討論在上的單調(diào)性；

（3）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．M是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，將線段OM繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段ON，設(shè)點(diǎn)N的軌跡為曲線．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）在（1）的條件下，若射線與曲線分別交于A, B兩點(diǎn)（除極點(diǎn)外），且有定點(diǎn)，求的面積．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案