【題目】在如圖所示的空間幾何體中,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角為60°,且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上.
(1)求證:DE∥平面ABC;
(2)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值.
【答案】
(1)證明:由題意知,△ABC,△ACD都是邊長為2的等邊三角形,
取AC中點O,連接BO,DO,
則BO⊥AC,DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC
∴DO⊥平面ABC,作EF⊥平面ABC,
那么EF∥DO,根據(jù)題意,點F落在BO上,
∴∠EBF=60°,∴EF=DO= ,
所以四邊形DEFO是平行四邊形,DE∥OF;
∵DE平面ABC,OF平面ABC,∴DE∥平面ABC
(2)解:方法一:作FG⊥BC,垂足為G,連接FG;
∵EF⊥平面ABC,根據(jù)三垂線定理可知,EG⊥BC,
∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角,
BF= = ,
∵FG=BFsin∠FBG= ,EF= ,
∴EG= = ,
∴cos∠EGF= = ,
即二面角E﹣BC﹣A的余弦值為 .
方法二:建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz,
可求得平面ABC的一個法向量為 ,
平面BCE的一個法向量為
所以 =
又由圖知,所求二面角的平面角是銳角,二面角E﹣BC﹣A的余弦值為 .
【解析】(1)證明線面平行,需要證明直線平行面內(nèi)的一條直線即可.(2)法一:利用三垂線定理作出二面角的平面角即可求解.法二:建立空間直角坐標系,利用向量法求解
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥, 成年人按規(guī)定的劑量服用后, 每毫升血液中的含藥量(微克)與時間(小時)之間關系滿足如圖所示的曲線.
(1)寫出關于的函數(shù)關系式:;
(2)據(jù)進一步測定: 每毫升血液中的含藥量不少于微克時, 治療疾病有效. 求服藥一次后治療疾病有效的時間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若f(x)=ex+ae﹣x為偶函數(shù),則f(x﹣1)< 的解集為( )
A.(2,+∞)
B.(0,2)
C.(﹣∞,2)
D.(﹣∞,0)∪(2,+∞)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設F1,F(xiàn)2分別是橢圓C: (a>b>0)的左,右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.
(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中,武警官兵準備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐.已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨立的,且命中的概率都是 .
(1)求油罐被引爆的概率;
(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設射擊次數(shù)為ξ.求ξ的分布列及數(shù)學期望E(ξ).( 結果用分數(shù)表示)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xoy中,曲線C1: (t為參數(shù),t≠0),其中0≤α<π,在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=2sinθ,曲線C3:ρ=2 cosθ.
(1)求C2與C3交點的直角坐標;
(2)若C2與C1相交于點A,C3與C1相交于點B,求|AB|的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BA⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2,PA=3,PA⊥底面ABCD,E是棱PD上異于P,D的動點.設 =m,則“0<m<2”是三棱錐C﹣ABE的體積不小于1的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設是定義在上的奇函數(shù),且對任意,當時,都有.
(1)若,試比較與的大小關系;
(2)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB經(jīng)過⊙O上一點C,⊙O的半徑為3,△AOB是等腰三角形,且C是AB中點,⊙O交直線OB于E、D.
(1)證明:直線AB與⊙O相切;
(2)若∠CED的正切值為 ,求OA的長.
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