【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程,并證明:.
(2)當時,方程有兩個不同的實數(shù)根,證明:.
【答案】(1);證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)首先求出導函數(shù),利用導數(shù)的幾何意義以及點斜式方程可求切線方程;構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值即證.
(2)為方程的兩根,不妨設(shè),由在上單調(diào)遞增,根據(jù)零點存在性定理可知,存在,使,由,得,由(1)可得,,然后利用分析法即可證出.
解:(1)因為,
所以,, 即切線方程:
下證:,
令
在上單調(diào)遞增,且
所以,在遞減,在遞增,
所以.
所以.
(2),為方程的兩根,
不妨設(shè),顯然在上單調(diào)遞增.
且所以存在,使
當,,遞減;
,,遞增.
由,得,又由(1)知
所以:,
要證:,需證:,即證:
,,即證:.
即:
令
,
在單調(diào)遞增,且.
所以,,在單調(diào)遞增.
所以
所以不等式成立.
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【題目】已知數(shù)列的首項a1=1,前n項和為Sn.設(shè)λ與k是常數(shù),若對一切正整數(shù)n,均有成立,則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列.
(1)若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列,求λ的值;
(2)若數(shù)列是“”數(shù)列,且an>0,求數(shù)列的通項公式;
(3)對于給定的λ,是否存在三個不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列,且an≥0?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由,
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【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處切線的斜率為,判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個零點,求a的取值范圍.
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【題目】已知是無窮數(shù)列.給出兩個性質(zhì):
①對于中任意兩項,在中都存在一項,使;
②對于中任意項,在中都存在兩項.使得.
(Ⅰ)若,判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①,說明理由;
(Ⅱ)若,判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,說明理由;
(Ⅲ)若是遞增數(shù)列,且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,證明:為等比數(shù)列.
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【題目】設(shè)、是拋物線上的兩個不同的點,是坐標原點,若直線與的斜率之積為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.以為直徑的圓面積的最小值為
C.直線過拋物線的焦點
D.點到直線的距離不大于
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【題目】為了響應(yīng)綠色出行,某市推出了新能源分時租賃汽車,并對該市市民使用新能源租賃汽車的態(tài)度進行調(diào)查,得到有關(guān)數(shù)據(jù)如下表1:
表1
愿意使用新能源租賃汽車 | 不愿意使用新能源租賃汽車 | 總計 | |
男性 | 100 | 300 | |
女性 | 400 | ||
總計 | 400 |
其中一款新能源分時租賃汽車的每次租車費用由行駛里程和用車時間兩部分構(gòu)成:行駛里程按1元/公里計費;用車時間不超過30分鐘時,按0.15元/分鐘計費;超過30分鐘時,超出部分按0.20元/分鐘計費.已知張先生從家到上班地點15公里,每天上班租用該款汽車一次,每次的用車時間均在20~60分鐘之間,由于堵車紅綠燈等因素,每次的用車時間(分鐘)是一個隨機變量.張先生記錄了100次的上班用車時間,并統(tǒng)計出在不同時間段內(nèi)的頻數(shù)如下表2:
表2
時間(分鐘) | (20,30] | (30,40] | (40,50] | (50,60] |
頻數(shù) | 20 | 40 | 30 | 10 |
(1)請補填表1中的空缺數(shù)據(jù),并判斷是否有99.5%的把握認為該市市民對新能源租賃汽車的使用態(tài)度與性別有關(guān);
(2)根據(jù)表2中的數(shù)據(jù),將各時間段發(fā)生的頻率視為概率,以各時間段的區(qū)間中點值代表該時間段的取值,試估計張先生租用一次該款汽車上班的平均用車時間;
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知,函數(shù),則下列說法正確的是( )
A.若,則的圖象上存在唯一一對關(guān)于原點對稱的點
B.存在實數(shù)使得的圖象上存在兩對關(guān)于原點對稱的點
C.不存在實數(shù)使得的圖象上存在兩對關(guān)于軸對稱的點
D.若的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則
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【題目】《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題:從冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸,雨水、驚蟄、春分、清明日影之和為三丈二尺,前七個節(jié)氣日影之和為七丈三尺五寸,問立夏日影長為( )
A.七尺五寸B.六尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸
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