【題目】設(shè)、是拋物線上的兩個不同的點,是坐標原點,若直線與的斜率之積為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.以為直徑的圓面積的最小值為
C.直線過拋物線的焦點
D.點到直線的距離不大于
【答案】BCD
【解析】
考慮與軸垂直,設(shè)直線的方程為,根據(jù)題意求得的值,求出的值,可判斷A選項的正誤;可設(shè)直線的方程為,設(shè)點、,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達定理,由直線與的斜率之積為,求得的值,并求得的最小值,可判斷B、C選項的正誤;利用點到直線的距離公式可判斷D選項的正誤.
對于A選項,若與軸垂直,設(shè)直線為,
則,,,,,,
即、,此時,A選項錯誤;
對于B、C選項,由題意可知直線斜率存在,設(shè)直線的方程為,
由,得,由,得,
設(shè)點、,則,,
,,
此時直線的方程為,恒過定點,C選項正確;
因為,
所以,以為直徑的圓面積的最小值為,B選項正確;
對于D選項,點到直線的距離為,D選項正確.
故選:BCD.
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【題目】已知為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,.
(Ⅰ)求和的通項公式;
(Ⅱ)記的前項和為,求證:;
(Ⅲ)對任意的正整數(shù),設(shè)求數(shù)列的前項和.
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【題目】在平面直角坐標系中,①已知點,直線:,動點滿足到點的距離與到直線的距離之比為;②已知圓的方程為,直線為圓的切線,記點到直線的距離分別為,動點滿足;③點,分別在軸,軸上運動,且,動點滿足.
(1)在①,②,③這三個條件中任選一個,求動點的軌跡方程;
(2)記(1)中的軌跡為,經(jīng)過點的直線交于,兩點,若線段的垂直平分線與軸相交于點,求點縱坐標的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的左,右兩個焦點為、,拋物線與橢圓有公共焦點.且兩曲線、在第一象限的交點的橫坐標為.
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)直線與拋物線的交點為、(為坐標原點),與橢圓的交點為、(在線段上),且.問滿足條件的直線有幾條,說明理由.
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【題目】已知函數(shù),,.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若存在與函數(shù),的圖象都相切的直線,求的取值范圍.
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【題目】如圖,拋物線的焦點為,是拋物線的準線與軸的交點,直線經(jīng)過焦點且與拋物線相交于、兩點,直線、分別交軸于、兩點,記、的面積分別為、.
(1)求證:;
(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.
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【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率,需引進一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn),現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇,生產(chǎn)線①:有A,B兩道獨立運行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.01,0.05.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為16萬元;若A工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加2萬元;若B工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加3萬元;若A,B兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②:有a,b兩道獨立運行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04,0.02.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為15萬元;若a工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加8萬元;若b工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元;若a,b兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加13萬元.
(1)若選擇生產(chǎn)線②,求生產(chǎn)成本恰好為20萬元的概率;
(2)為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本,你會給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線?請說明理由.
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