Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）（a＞0，且a≠1）
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）已知p：不等式f（x）≤2b對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，q：函數(shù)g（x）=x²+（2b+1）x-b-1的兩個(gè)兩點(diǎn)分別在區(qū)間（-3，-2）和（0，1）內(nèi)，如果p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）分別求出命題成立的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若a＞1，則a²-1＞0，則$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，函數(shù)y=a^x-a^-x為增函數(shù)，此時(shí)f（x）為增函數(shù)；
若0＜a＜1，則a²-1＜0，則$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，函數(shù)y=a^x-a^-x為減函數(shù)，此時(shí)f（x）為增函數(shù)；
綜上函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（2）∵不等式f（x）≤2b對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，
∴f（x）_max≤2b對(duì)任意x∈[-1，1]恒成立，
∵函數(shù)f（x）在[-1，1]為增函數(shù)．
∴f（x）_max=f（1）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a-a^-1）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$$•\frac{{a}^{2}-1}{a}$=1，
∴2b≥1，即b≥$\frac{1}{2}$，則p：b≥$\frac{1}{2}$．
若函數(shù)g（x）=x²+（2b+1）x-b-1的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（-3，-2）和（0，1）內(nèi)，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）＞0}\\{g（-2）＜0}\\{g（0）＜0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）=5-7b＞0}\\{g（-2）=1-5b＜0}\\{g（0）=-b-1＜0}\\{g（1）=1+b＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b＜\frac{5}{7}}\\{b＞\frac{1}{5}}\\{b＞-1}\\{b＞-1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{5}$＜b＜$\frac{5}{7}$，
如果p∨q為真，p∧q為假，
則p，q為一真一假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{b≥\frac{1}{2}}\\{b≥\frac{5}{7}或b≤\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，解得b≥$\frac{5}{7}$，
若q真p假，則$\left\{\begin{array}{l}{b＜\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{5}＜b＜\frac{5}{7}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{5}$＜b＜$\frac{1}{2}$，
綜上$\frac{1}{5}$＜b＜$\frac{1}{2}$或b≥$\frac{5}{7}$，
即實(shí)數(shù)b的取值范圍是$\frac{1}{5}$＜b＜$\frac{1}{2}$或b≥$\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及復(fù)合命題之間的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力．