Question

3．已知橢圓過點A（5，4），離心率e=$\frac{3}{5}$，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 由于橢圓的焦點位置未定，故需要進行分類討論，進而可求橢圓的標準方程．

解答 解：當橢圓的焦點在x軸上時，∵橢圓過點A（5，4），離心率e=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{25}{{a}^{2}}+\frac{16}{^{2}}=1$，$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$，
∵c²=a²-b²．
∴a²=50，b²=32，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{50}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1．
當橢圓的焦點在y軸上時，∵橢圓過點A（5，4），離心率e=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{16}{{a}^{2}}+\frac{25}{^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$，
∵c²=a²-b²．
∴a²=$\frac{881}{16}$，b²=$\frac{881}{25}$，
∴橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{881}{16}}+\frac{{x}^{2}}{\frac{881}{25}}$=1．
綜上知，所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{50}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1，或$\frac{{y}^{2}}{\frac{881}{16}}+\frac{{x}^{2}}{\frac{881}{25}}$=1．

點評 本題重點考查橢圓的標準方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．