Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，g（x）=x+a．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x₁∈[0，1]，存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)將f（x）在x=1處取得極值轉(zhuǎn)化為f'（1）=0，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）由題可知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的包含關(guān)系，進(jìn)而分a≤0、a＞0兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax可知f'（x）=e^x-a，
依題意知f'（1）=0，得e-a=0，即a=e，
驗(yàn)證可知a=e滿(mǎn)足題意，
綜上所述，a=e．
（Ⅱ）由x₂∈[0，1]可知g（x₂）∈[a，a+1]，f'（x）=e^x-a．
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，即f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
所以f（x₁）∈[1，e-a]，
依題得$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ a+1≥e-a\end{array}\right.$，解得$\frac{e-1}{2}≤a≤1$，
又a≤0，所以此時(shí)a無(wú)實(shí)數(shù)解．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，解得x=lna．
①當(dāng)lna≤0時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
所以由（1）得$\frac{e-1}{2}≤a≤1$，
又因?yàn)?＜a≤1，
所以$\frac{e-1}{2}≤a≤1$，即$a∈[{\frac{e-1}{2}，1}]$．
②當(dāng)lna≥1即a≥e時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
所以f（x₁）∈[e-a，1]，
依題得$\left\{\begin{array}{l}a≤e-a\\ a+1≥1\end{array}\right.$，解得$0≤a≤\frac{e}{2}$，
又a≥e，所以a無(wú)實(shí)數(shù)解．
③當(dāng)0＜lna＜1即1＜a＜e時(shí)，
因?yàn)閒（x）在[0，lna]上單調(diào)遞減，在[lna，1]上單調(diào)遞增，
所以$f{（x）_{min}}=f（lna）={e^{lna}}-alna=a（1-lna）$，
又因?yàn)?＜a＜e，
所以a（1-lna）＜a，顯然不符合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為$[{\frac{e-1}{2}，1}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想，考查分類(lèi)討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．