Question

7．有四個命題
①若$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$，則$\overrightarrow p與\overrightarrow a、\overrightarrow b$共面
②若$\overrightarrow p與\overrightarrow a、\overrightarrow b$共面，則$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$
③若$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$，則M、N、A、B四點共面
④若M、N、A、B四點共面，則$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$
其中真命題的個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，由平面向量基本定理得$\overrightarrow p與\overrightarrow a、\overrightarrow b$一定在同一平面內；在②中，如果$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$共線，$\overrightarrow{p}$就不一定能用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$來表示；在③中，若$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$，則$\overrightarrow{MN}、\overrightarrow{MA}、\overrightarrow{MB}$三向量在同一平面內；在④中，若M、N、A、B共線，則$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$不一定成立．

解答 解：在①中，若$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$，則由平面向量基本定理得$\overrightarrow p與\overrightarrow a、\overrightarrow b$一定在同一平面內，故①正確；在②中，若$\overrightarrow p與\overrightarrow a、\overrightarrow b$共面，但如果$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$共線，$\overrightarrow{p}$就不一定能用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$來表示，故②錯誤；
在③中，若$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$，則$\overrightarrow{MN}、\overrightarrow{MA}、\overrightarrow{MB}$三向量在同一平面內，所以M、N、A、B四點共面，故③正確；
在④中，若M、N、A、B四點共面，且M、N、A、B共線，則$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$不一定成立，故④錯誤．
故選：B．

點評 本題命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間向量的性質的合理運用．