Question

1．求函數(shù)y=3+$\sqrt{2+x}$+$\sqrt{2-x}$的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)y的解析式，求出它的定義域；再利用導數(shù)求出函數(shù)y的最大、最小值，從而得出y的值域．

解答 解：∵函數(shù)y=3+$\sqrt{2+x}$+$\sqrt{2-x}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+x≥0}\\{2-x≥0}\end{array}\right.$，
∴-2≤x≤2；
又y′=$\frac{1}{2\sqrt{2+x}}$-$\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$=$\frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}}{2\sqrt{（2+x）（2-x）}}$，
令y′=0，解得x=0；
∴當-2＜x＜0時，y′＞0，y是增函數(shù)，
當0＜x＜2時，y′＜0，y是減函數(shù)；
∴當x=0時，函數(shù)y取得最大值3+2$\sqrt{2}$，
又x=-2時，y=3+2=5，
x=2時，y=3+2=5，
∴函數(shù)y的最小值是5；
∴y的值域是[5，3+2$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了利用函數(shù)的解析式求定義域和值域的應(yīng)用問題，也考查了利用導數(shù)求最值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．