已知向量
m
=(
3
sin
x
4
，1)，
n
=(cos
x
4
，cos2
x
4
)．
（Ⅰ）若
m
•
n
=1，求cos（
2π
3
-x）的值；
（Ⅱ）記f（x）=
m
•
n
，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式列出方程求出
sin(
x
2
+
π
6
)
，利用二倍角的余弦公式求出要求的式子的值．
（2）利用三角形中的正弦定理將等式中的邊轉化為角的正弦值，利用三角形的內角和為180°化簡等式，求出角B，求出角A的范圍，求出三角函數(shù)值的范圍．
解答：解：（1）
∵
m
•
n
=
3
2
sin
x
2
+
1+cos
x
2
2
=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
=1
∴sin(
x
2
+
π
6
)=
1
2

∵cos(
2π
3
-x)=-cos(x+
π
3
)=-[1-2sin2(
x
2
+
π
6
)]=-
1
2
（6分）

（2）∵（2a-c）cosB=bcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∵sinA＞0
∴cosB=
1
2

∵B∈（0，π），
∴B=
π
3

∴A∈(0，
2π
3
)
∵f(x)=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2

∴f(A)=sin(
A
2
+
π
6
)+
1
2

∵
A
2
+
π
6
∈(
π
6
，
π
2
)
∴sin(
A
2
+
π
6
)∈(
1
2
，1)
∴f(A)∈(1，
3
2
)（12分）
點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、考查三角形的正弦定理、考查三角形的內角和為180°、考查利用三角函數(shù)的單調性求三角函數(shù)值的范圍．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx，cosx)，
n
=(cosx，cosx)，
p
=(2
3
，1)．
（1）若
m
∥
n
，求sinx•cosx的值；
（2）設△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角B的取值集合為M，當x∈M時，求函數(shù)f（x）=
m
•
n
的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx-cosx，  1)，
n
=(cosx，  
1
2
)，若f(x)=
m
•
n
．
（1） 求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2） 已知△ABC的三內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3， f(
C
2
+
π
12
)=
3
2
（C為銳角），2sinA=sinB，求C、a、b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(
1
2
f(x)，cosx)，
m
∥
n
．
（I）求f（x）的單調增區(qū)間及在[-
π
6
，
π
4
]內的值域；
（II）已知A為△ABC的內角，若f(
A
2
)=1+
3
，a=1，b=
2
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，且
m
⊥
n
，
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x∈[0， 
π
2
]時，函數(shù)g(x)=a[f(x)-
1
2
]+b的最大值為3，最小值為0，試求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，
m
⊥
n
．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）已知A為△ABC的內角，若f(
A
2
)=
1
2
+
3
2
，a=1，b=
2
，求△ABC的面積．

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