Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，原點(diǎn)到過點(diǎn)，的直線的距離是．

1求橢圓的方程；

2設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上，并求出定直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

1由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，結(jié)合隱含條件得到，再由點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于a，b的另一關(guān)系式，聯(lián)立方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求；2聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y得到，由判別式等于0整理得到，代入求得P的坐標(biāo)，然后寫出直線方程為，聯(lián)立方程組，求得，即說明點(diǎn)Q在定直線上．

1由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，得，

因此，

直線AB：，即．

原點(diǎn)O到直線AB的距離為，

聯(lián)立，解得：，，

橢圓C的方程為；

2由，得方程，

由直線與橢圓相切，得且，

整理得：，

將，即代入式，得，

即，解得，，

又，，則，

直線方程為，

聯(lián)立方程組，得，

點(diǎn)Q在定直線上．