【題目】已知函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+2x(a∈R)
(1)當a=4時,解不等式f(x)≥8;
(2)當a∈[0,4]時,求f(x)在區(qū)間[3,4]上的最小值;
(3)若存在a∈[0,4],使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有3個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)t的取值范圍.

【答案】
(1)解:當a=4時,f(x)=x|x﹣4|+2x,

當x≥4時,x(x﹣4)+2x≥8,解得x≥4(x≤﹣2舍去);

當x<4時,x(4﹣x)+2x≥8,解得2≤x<4.

綜上可得,f(x)≥8的解集為[2,+∞)


(2)解:當a∈[0,3]時,f(x)=x(x﹣a)+2x=x2+(2﹣a)x,

對稱軸為x= ∈[﹣1, ],

區(qū)間[3,4]在對稱軸的右邊,為增區(qū)間,可得f(3)為最小值,即為15﹣3a;

當a∈(3,4]時,當3<x<a時f(x)=x(a﹣x)+2x=﹣x2+(2+a)x,

對稱軸為x= ∈( ,3],區(qū)間(3,a)在對稱軸的右邊,為減區(qū)間;

當a≤x≤4時,f(x)=x(x﹣a)+2x=x2+(2﹣a)x,

對稱軸為x= ∈[ ,1],

區(qū)間[3,4]在對稱軸的右邊,為增區(qū)間,

即有f(a)取得最小值,且為2a.

綜上可得,a∈[0,3]時,f(x)的最小值為15﹣3a;

a∈(3,4]時,f(x)的最小值為2a


(3)解:當x<a時,f(x)=﹣x2+(2+a)x,對稱軸為x=

當a∈[0,2]知a﹣ = ≤0,可得x<a為增函數(shù);

當x≥a時,f(x)=x2+(2﹣a)x,對稱軸為x= ,

當a∈[0,2]知a﹣ = >0,可得x≥a為增函數(shù);

則不滿足關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有3個不相等的實數(shù)根.

當a∈[2,4]時,a> +1> ﹣1,

∴y=f(x)在(﹣∞, +1)上單調(diào)增,在( +1,a)上單調(diào)減,

在(a,+∞)上單調(diào)增,

∴當f(a)<tf(a)<f( +1)時,

關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有三個不相等的實數(shù)根;

即2a<t2a<( +1)2,

∵a∈[2,4],∴1<t< (1+ + ),

設h(a)= (1+ + ),

∵存在a∈[2,4]使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有三個不相等的實數(shù)根,

∴1<t<h(a)max

又可證h(a)= (1+ + )在[2,4]上單調(diào)增,

∴h(a)max=h(4)= ,

∴1<t<


【解析】(1)f(x)=x|x﹣4|+2x,討論當x≥4時,當x<4時,去絕對值,解不等式,再求并集即可;(2)討論當a∈[0,3]時,當a∈(3,4]時,去絕對值,求出對稱軸,判斷單調(diào)性,可得最小值;(3)討論當x<a時,當x≥a時,取絕對值,求出對稱軸,討論當a∈[0,2],當a∈[2,4],結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,求得極值,可得1<t< (1+ + ),設h(a)= (1+ + ),運用單調(diào)性可得h(a)的最大值,進而得到所求t的范圍.

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