Question

【題目】設函數(shù)， ．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，討論函數(shù)與圖像的交點個數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題轉化為求函數(shù),的零點個數(shù)問題，通過求導，得到函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間，求出F（x）的極小值，從而求出函數(shù)h（x）的零點個數(shù)即f（x）和g（x）的交點個數(shù)．

試題解析：

（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域為， ，

當時， ，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；

當時， ；當時， ，函數(shù)的單調(diào)遞減；當時， ，函數(shù)的單調(diào)遞增.

綜上：當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是.

（Ⅱ） 解：令，問題等價于求函數(shù)的零點個數(shù)，

當時， ，有唯一零點；當時， ，

當時， ，函數(shù)為減函數(shù)，注意到， ，

所以有唯一零點；

當時， 或時， 時，

所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到，

，所以有唯一零點；

當時， 或時， 時，

所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，意到，

所以，而，

所以有唯一零點.

綜上，函數(shù)有唯一零點，即兩函數(shù)圖象總有一個交點.