Question

4．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）經(jīng)過橢圓$C：\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}}\right.$（φ為參數(shù)）的左焦點(diǎn)F．
（1）求m的值；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用cos²φ+sin²φ=1將橢圓C的參數(shù)方程化為普通方程，可得a，b，c，可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，l是經(jīng)過點(diǎn)（m，0）的直線，可得m．
（2）將l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程，并整理，得（3cos²α+4sin²α）t²-6tcosα-9=0，利用|FA|•|FB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）將橢圓C的參數(shù)方程化為普通方程，得：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
所以$a=2，b=\sqrt{3}，c=1$，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，0），l是經(jīng)過點(diǎn)（m，0）的直線，故m=-1． …（4分）
（2）將l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程，并整理，得（3cos²α+4sin²α）t²-6tcosα-9=0
設(shè)點(diǎn)A，B在直線參數(shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂
則|FA|•|FB|=|t₁t₂|=$\frac{9}{3co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$，
當(dāng)sinα=0，|FA|•|FB|取最大值3
當(dāng)sinα=±1時(shí)，|FA|•|FB|取最小值$\frac{9}{4}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．