Question

【題目】設(shè).

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）令，試證明在上有且僅有三個零點.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）證明見解析.

【解析】

（1）首先求導得到，再根據(jù)導函數(shù)的正負性即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）首先根據(jù)，得到是的一個零點，再根據(jù)是偶函數(shù)得到在上的零點個數(shù)，只需確定時，的零點個數(shù)即可，再求出在時的單調(diào)性和最值，確定其零點個數(shù)即可.

，

令，則或.

時，，單調(diào)遞增，

時，單調(diào)遞減，

時，，單調(diào)遞增，

時，，單調(diào)遞減.

的單調(diào)遞增區(qū)間是，

遞減區(qū)間是.

（2），

因為，所以是的一個零點.

所以是偶函數(shù)，

即要確定在上的零點個數(shù)，需確定時，的零點個數(shù)即可.

①當時，

令，即或.

時，單調(diào)遞減，

且，

時，，單調(diào)遞增，

且

在有唯一零點

②當時，由于，.

而在單調(diào)遞增，

所以恒成立，故在無零點，

所以在有一個零點，

由于是偶函數(shù)，所以在有一個零點，而，

綜上在有且僅有三個零點.