Question

【題目】在中，AB=AC.試求出應(yīng)滿足的一個充分必要條件，使得在的內(nèi)部存在一個點(diǎn)，滿足（1）；（2）.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖設(shè)以為半徑，分別以、為圓心的兩圓相交于另外一點(diǎn)，顯然是等邊三

角形，且，.

因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，且，所以，點(diǎn)在弧上.

又，從而，.故.

設(shè)弧交于點(diǎn)，由以上的分析可知：

在內(nèi)部存在一點(diǎn)，使得且的充分必要條件是，

線段的垂直平分線與弧的內(nèi)部（不包括點(diǎn)）有交點(diǎn)，

即等價(jià)于的角平分線交弧的內(nèi)部于一點(diǎn).

考慮兩個極端情形：

（i）與重合.這時(shí)，

(ii)角平分線與⊙相切于點(diǎn).這時(shí)由及可得與的夾角為.

從而，，.

再由上述充分必要條件可知：

點(diǎn)存在

的角平分線交的內(nèi)部于一點(diǎn)

(否則就不會有交點(diǎn)）.

因此所求的充分必要條件為.

注：我們可證明.

記，則

，，

所以，.

于是，垂直平分線段.

記，交于點(diǎn).

由，可知

.

又，

故.

注：此題可利用“Femat點(diǎn)”求解，也可用“三角法”求解.