Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=20，a₂=30，a_n+1=3a_n-a_n-1（n∈N^*，n≥2）．
（1）當(dāng)n=2，3時(shí)，分別求a_n²-a_n-1a_n+1的值，判斷a_n²-a_n-1a_n+1是否為定值，并給出證明；
（2）求出所有的正整數(shù)n，使得5a_n+1a_n+1為完全平方數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）求出結(jié)果判斷是否為定值，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
（2）利用（1）化簡求解a_n+a_n+1的值，通過5a_n+1a_n+1為完全平方數(shù)，求出所有的正整數(shù)n，即可．

解答： 解：（1）由已知得a₃=70，a₄=180．
所以n=2時(shí)，a_n²-a_n-1a_n+1=-500；當(dāng)n=3時(shí)，a_n²-a_n-1a_n+1=-500．…（2分）
猜想：a_n²-a_n-1a_n+1=-500（n≥2）．    …（3分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N^*）時(shí)，結(jié)論成立，即a_k²-a_k-1a_k+1=-500，
將a_k-1=3a_k-a_k+1，代入上式，可得a_k²-3a_ka_k+1+a_k+1²=-500．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1²-a_k+1a_k+2=a_k+1²-a_k（3a_k+1-a_k）=a_k+1²-3a_ka_k+1+a_k²=-500．
故當(dāng)n=k+1結(jié)論成立，
根據(jù)①，②可得，a_n²-a_n-1a_n+1=-500（n≥2）成立．…（5分）
（2）將a_n-1=3a_n-a_n+1代入a_n²-a_n-1a_n+1=-500，得a_n²-3a_na_n+1+a_n+1²=-500，
則5a_n-1a_n+1=（a_n+a_n+1）²+500，5a_n-1a_n+1+1=（a_n+a_n+1）²+501，
設(shè)5a_n-1a_n+1+1=t²（t∈N^*），則t²-（a_n+a_n+1）²+501，
即[t-（a_n+a_n+1）][t+（a_n+a_n+1）]=501，…（7分）
又a_n+a_n+1∈N，且501=1×501=3×167，
故

an+an+1-t=-1 an+an+1+t=501

 或

an+an+1-t=-3 an+an+1+t=167

所以

t=251 an+an+1=250

 或

t=85 an+an+1=82

由a_n+a_n+1=250解得n=3；由a_n+a_n+1=82得n無整數(shù)解．
所以當(dāng)n=3時(shí)，滿足條件．                 …（10分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．