Question

如圖，已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，直線l的方程為x=4，過右焦點F的直線l′與橢圓交于異于左頂點A的P，Q兩點，直線AP，AQ交直線l分別于點M，N．
（Ⅰ）當

AP

•

AQ

=

9

2

時，求此時直線l′的方程；
（Ⅱ）試問M，N兩點的縱坐標之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）當直線PQ的斜率不存在時，推導出

AP

•

AQ

=

27

4

不滿足；當直線PQ的斜率存在時，設(shè)PQ方程為y=k（x-1）（k≠0）代入橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線l′的方程．
（Ⅱ）AP的方程為y=

y1

x1+2

(x+2)與l的方程：x=4聯(lián)立得：M(4，

6y1

x1+2

)，同理得N(4，

6y2

x2+2

)，由此能推導出M，N兩點的縱坐標之積為定值-9．

解答： 解：（Ⅰ）①當直線PQ的斜率不存在時，
由F（1，0）知PQ方程為x=1
代入橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，得P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)，
又A（-2，0）∴

AP

=(3，

3

2

)，

AQ

=(3，-

3

2

)，

AP

•

AQ

=

27

4

不滿足…（2分）
②當直線PQ的斜率存在時，設(shè)PQ方程為y=k（x-1）（k≠0）
代入橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0…（3分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

…（4分）y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2(-x1-x2+x1x2+1)=

-9k2

3+4k2

AP • AQ =(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2= 27k2 3+4k2 = 9 2

，
∴k=±

6

2

，故直線l′的方程y=±

6

2

(x-1)…（6分）
（Ⅱ）AP的方程為y=

y1

x1+2

(x+2)與l的方程：x=4聯(lián)立得：M(4，

6y1

x1+2

)，
同理得N(4，

6y2

x2+2

)…（8分）
∴yM•yN=

6y1

x1+2

•

6y2

x2+2

=

36y1y2

x1x2+2(x1+x2)+4

①k不存在時，yM•yN=

36• 3 2 •(- 3 2 )

1+2(1+1)+4

=-9…（9分）
②k存在時，yM•yN=

- 324k2 3+4k2

4k2-12 3+4k2 + 16k2 3+4k2 +4

=-9…（12分）
∴M，N兩點的縱坐標之積為定值-9…（13分）

點評：本題考查直線方程的求法，考查兩點橫坐標之積是否這定點的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量的數(shù)量積的合理運用．