Question

8．已知區(qū)間[a，b]，定義區(qū)間長度d=|b-a|，設(shè)函數(shù)f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），若函數(shù)y=f（$\frac{kx}{2}$）-f（$\frac{kx}{2}$+$\frac{3π}{2}$）（k＞0）在長度為d=$\frac{π}{7}$的任意區(qū)間[a，b]上都能取得最大值$\sqrt{2}$和最小值-$\sqrt{2}$，則正數(shù)k的最小值為（　�。�

• A． 14
• B． 14π
• C． 28
• D． 28π

Answer 1

分析 先求出函數(shù)y=f（$\frac{kx}{2}$）-f（$\frac{kx}{2}$+$\frac{3π}{2}$），再根據(jù)它的周期小于或等于$\frac{π}{7}$，求得正整數(shù)k的最小值．

解答 解：∵函數(shù)y=f（$\frac{kx}{2}$）-f（$\frac{kx}{2}$+$\frac{3π}{2}$）=sin（$\frac{kx}{2}$-$\frac{π}{6}$）-sin（$\frac{kx}{2}$+$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{kx}{2}$-$\frac{π}{6}$）+cos（$\frac{kx}{2}$-$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{2}$sin（$\frac{kx}{2}$-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{kx}{2}$+$\frac{π}{12}$）（k＞0），
在長度為d=$\frac{π}{7}$的任意區(qū)間[a，b]上，改函數(shù)都能取得最大值$\sqrt{2}$和最小值-$\sqrt{2}$，
故該函數(shù)的周期小于或等于$\frac{π}{7}$，即$\frac{2π}{\frac{k}{2}}$≤$\frac{π}{7}$，求得k≥28，
故k的最小值為28，
故選：C．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A和B，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的周期性的應用，屬于基礎(chǔ)題．