Question

6．如圖，△ABC中∠A=90°，D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合．已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-14x+mn=0的兩個(gè)根．
（1）證明：C、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（2）若m=4，n=6，求C、B、D、E所在圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）做出輔助線，根據(jù)所給的AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-14x+mn=0的兩個(gè)根，得到比例式，根據(jù)比例式得到三角形相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，得到結(jié)論．
（2）根據(jù)所給的條件做出方程的兩個(gè)根，即得到兩條線段的長(zhǎng)度，取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH，根據(jù)四點(diǎn)共圓得到半徑的大�。�

解答 （1）證明：連結(jié)DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，
即$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，又∠DAE=∠CAB，從而△ADE∽△ACB．

因此∠ADE=∠ACB，所以C，B，D，E四點(diǎn)共圓．
（2）解：m=4，n=6時(shí)，方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2，x₂=12，故AD=2，AB=12．
取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連結(jié)DH．
因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC，
從而$HF=AG=5，DF=\frac{1}{2}（12-2）=5$．
故C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為$5\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周角定理，考查與圓有關(guān)的比例線段，考查一元二次方程的解，考查四點(diǎn)共圓的判斷和性質(zhì)，屬于中檔題．