Question

20．己知集合A=[0，1），B=[1，+∞），函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-{x}^{2}，x∈A}\\{2{x}^{2}-x+a，x∈B}\end{array}\right.$，若對任意x₀∈A，都有f（f（x₀））∈B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，2）
• B． [-1，+∞）
• C． [0，+∞）
• D． （-2，1]

Answer 1

分析 求得函數(shù)y=2^x-x²，x∈[0，1）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，可得最大值及值域，再由二次函數(shù)的值域求法，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，求得有f（f（x₀））的值域，再由集合的包含關(guān)系，解不等式可得a的范圍．

解答 解：當(dāng)x₀∈A，即x₀∈[0，1），
f（x₀）=2^x₀-x₀²，
由函數(shù)y=2^x-x²，x∈[0，1），
導(dǎo)數(shù)y′=2^xln2-2x，
即有y″=2^xln²2-2，
由0＜x＜1，可得y″＜0，即函數(shù)y′=2^xln2-2x在（0，1）遞減，
且x=0時(shí)，2⁰ln2=ln2＞0；x=1時(shí)，2ln2-2＜0，
由零點(diǎn)存在定理可得，y′=2^xln2-2x只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為m∈（0，1）．
則函數(shù)y=2^x-x²在x∈[0，m）遞增，在（m，1）遞減．
又x=m取得最大值t，又x=0時(shí)，y=1；x=1時(shí)，y=1．
則函數(shù)y=2^x-x²的值域?yàn)閇1，t]．
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=2x²-x+a=2（x-$\frac{1}{4}$）²+a-$\frac{1}{8}$，
由f（x₀）的值域?yàn)閇1，t]，可得f[f（x₀）]的值域?yàn)閇1+a，2t²-t+a]．
再由f（f（x₀））∈B，
可得1+a≥1，解得a≥0．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的值域的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求最值，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．