Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中點，且PA=PB=AB=2，BC=$\sqrt{2}$．
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）求三棱錐A-PBD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，交BD于點O，連接EO，則PC∥EO．由此能證明PC∥平面EBD．
（2）取AB中點H，連接PH，由PA=PB，得PH⊥AB，由V_A-PBD=V_P-ABD，能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）連接AC，交BD于點O，連接EO，
則O是AC的中點，
又∵E是PA的中點，∴EO是△PAC的中位線，∴PC∥EO．
又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
解：（2）取AB中點H，連接PH，
由PA=PB，得PH⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PH⊥平面ABCD．
∵△PAB是邊長為2的等邊三角形，∴$PH=\sqrt{3}$，
又∵${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}×AB×AD=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
∴${V_{三棱錐A-PBD}}={V_{三棱錐P-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•PH=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考百三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．