Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²-x+2a-1（a為實常數(shù)）．
（1）設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若a=-1，求證：函數(shù)h（x）在區(qū)間$（0，\sqrt{3}]$上是增加的；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[4，5]上是單調(diào)遞減的，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)0$＜{x}_{1}＜{x}_{2}≤\sqrt{3}$，計算并化簡h（x₁）-h（x₂），即可得出結(jié)論；
（2）對a進行討論，判斷f（x）的函數(shù)類型和開口方向，得出對稱軸的范圍即可解出a的范圍．

解答 解：（1）$h（x）=-x-1-\frac{3}{x}$，
在區(qū)間$（0，\sqrt{3}]$上任取x₁、x₂，且x₁＜x₂
則$h（{x_1}）-h（{x_2}）=-{x_1}-1-\frac{3}{x_1}-（-{x_2}-1-\frac{3}{x_2}）$
=$（{x_2}-{x_1}）+3（\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}）$=$\frac{{（{x_2}-{x_1}）（{x_1}{x_2}-3）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵$0＜{x_1}＜{x_2}≤\sqrt{3}$，∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，x₁x₂-3＜0，
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂）
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間$（0，\sqrt{3}]$上是增函數(shù)．
（2）①當(dāng)a=0時，f（x）=-x-1在區(qū)間[4，5]上是遞減的，符合題意；     
②當(dāng)a＞0時，由題意得函數(shù)f（x）的對稱軸$x=\frac{1}{2a}≥5$，解得$a≤\frac{1}{10}$，∴$0＜a≤\frac{1}{10}$；
③當(dāng)a＜0時，由題意得函數(shù)f（x）的對稱軸$x=\frac{1}{2a}≤4$，解得$a≤\frac{1}{8}$，∴a＜0；     
綜上所述，a的取值范圍是：$\{a|a≤\frac{1}{10}\}$．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．