Question

7．已知點(diǎn)P（x，y）是圓x²+y²=2上一動(dòng)點(diǎn)，則$\frac{y}{x-2}$的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 $\frac{y}{x-2}$表示圓x²+y²=2上的點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)A（2，0）連線的斜率，設(shè)過(guò)點(diǎn)A的圓的切線斜率為k，用點(diǎn)斜式求得圓的切線方程，由圓心（0，0）到切線的距離等于半徑求得k的值，可得$\frac{y}{x-2}$的取值范圍．

解答 解：由題意可得，則$\frac{y}{x-2}$表示圓x²+y²=2上的點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)A（2，0）連線的斜率，
設(shè)過(guò)點(diǎn)A的圓的切線斜率為k，則圓的切線方程為y-0=k（x-2），即 kx-y-2k=0，
由圓心（0，0）到切線的距離等于半徑可得$\frac{|0-0-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，求得k=±1，
故則$\frac{y}{x-2}$的取值范圍是[-1，1]，
故答案為：[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線的斜率公式，直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．