Question

1．式子$\frac{1}{{2-{{cos}^2}θ}}$+$\frac{1}{{2-{{sin}^2}θ}}$（θ∈R）的最小值為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 法一：利用不等式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}≥\frac{4}{x+y}$，即可求出答案，
法二：先通分，再利用基本不等式即可求出．

解答 解：法一：利用不等式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}≥\frac{4}{x+y}$，$\frac{1}{{2-{{cos}^2}θ}}+\frac{1}{{2-{{sin}^2}θ}}≥\frac{4}{{4-（{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ）}}=\frac{4}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)sin²θ=cos²θ，即$θ=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}（k∈Z）$時(shí)，等號(hào)成立，故選A；
法二：直接通分，$\frac{1}{{2-{{cos}^2}θ}}+\frac{1}{{2-{{sin}^2}θ}}=\frac{{4-（{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ）}}{{4-2（{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ）+{{sin}^2}θ{{cos}^2}θ}}$=$\frac{3}{{2+\frac{1}{4}{{sin}^2}2θ}}≥\frac{4}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)sin²θ=cos²θ，即$θ=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}（k∈Z）$時(shí)，等號(hào)成立．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性求最值問(wèn)題，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．