Question

16．如圖，在空間幾何體ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，△ABC和△ACD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，BE=2，點(diǎn)E在平面ABC內(nèi)的射影落在∠ABC的平分線上，若DE∥平面ABC．
（Ⅰ）求DE邊的長(zhǎng)度；
（Ⅱ）求棱錐A-CDE的體積與棱錐A-BCE的體積的比值．

Answer 1

分析 （I）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)BO、DO，作EF⊥平面ABC，證明DO⊥平面ABC，說(shuō)明E、F、O、D共面，然后求解DE的長(zhǎng)．
（II）利用V_A-CDE=V_E-ACD，V_A-BCE=V_E-ABC，然后求解體積的比值．

解答 解：（I）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)BO、DO，
作EF⊥平面ABC，則垂足F在BO上，
∵DO⊥AC，平面ACD⊥平面ABC，
交線是AC，∴DO⊥平面ABC，
則EF∥DO，∴E、F、O、D共面，
∵DE∥平面ABC，面EFOD∩面ABC=OD，
∴DF∥OF，∴$EF=DO=\sqrt{3}$，
∴BF=1，$DE=OF=\sqrt{3}-1$；…（6分）
（II）∵V_A-CDE=V_E-ACD，V_A-BCE=V_E-ABC，
由（I）棱錐E-ACD和棱錐E-ABC的高分別是ED和EF，
它們的底面△ABC和△ACD全等，
∴$\frac{{{V_{E-ACD}}}}{{{V_{E-ABC}}}}=\frac{DE}{EF}=1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積，點(diǎn)線面的距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．