Question

14．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點F₁（-c，0）的直線交橢圓E于A，B兩點，若|AF₁|=3|F₁B|，且AB⊥AF₂，則橢圓E的離心率是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 在△AF₁F₂中和在△ABF₂中，分別利用勾股定理求得，再根據(jù)條件列出等式求解．

解答 解：設(shè)|F₁B|=k（k＞0），則|AF₁|=3k，|AB|=4k，
∴|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k
∵AB⊥AF₂，∴|BF₂|²=|AF₂|²+|AB|²，故a=3k，
∴△AF₁F₂是等腰直角三角形，⇒c=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，橢圓E的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的離心率，合理利用橢圓的定義是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．