Question

18．已知不等式ln（x+1）-1≤ax+b對(duì)一切x＞-1都成立，則$\frac{a}$的最小值是1-e^-3．

Answer 1

分析 令y=ln（x+1）-ax-b-1，求出導(dǎo)數(shù)，分類討論，進(jìn)而得到b≥-lna+a+2，可得$\frac{a}$≥$\frac{-lna+a+2}{a}$，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，進(jìn)而得到$\frac{a}$的最小值．

解答 解：令y=ln（x+1）-ax-b-1，則y′=$\frac{1}{x+1}$-a，
若a≤0，則y′＞0恒成立，x＞-1時(shí)函數(shù)遞增，無(wú)最值．
若a＞0，由y′=0得：x=$\frac{1-a}{a}$，
當(dāng)-1＜x＜$\frac{1-a}{a}$時(shí)，y′＞0，函數(shù)遞增；
當(dāng)x＞$\frac{1-a}{a}$時(shí)，y′＜0，函數(shù)遞減．
則x=$\frac{1-a}{a}$處取得極大值，也為最大值-lna+a-b-2，
∴-lna+a-b-2≤0，
∴b≥-lna+a-2，
∴$\frac{a}$≥$\frac{-lna+a-2}{a}$，
令t=$\frac{-lna+a-2}{a}$，
∴t′=$\frac{lna-3}{{a}^{2}}$，
∴（0，e³）上，t′＜0，（e³，+∞）上，t′＞0，
∴a=e³，t_min=1-e^-3．
∴$\frac{a}$的最小值為1-e^-3．
故答案為：1-e^-3

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的恒成立問(wèn)題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求極值和最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題