【題目】已知橢圓E: (a>b>0)的上頂點為P(0,1),過E的焦點且垂直長軸的弦長為1.若有一菱形ABCD的頂點A、C在橢圓E上,該菱形對角線BD所在直線的斜率為﹣1.
(1)求橢圓E的方程;
(2)當直線BD過點(1,0)時,求直線AC的方程;
(3)當∠ABC= 時,求菱形ABCD面積的最大值.

【答案】
(1)解:依題意,b=1,

,得|y|= ,

所以 ,a=2,

橢圓E的方程為


(2)解:直線BD:y=﹣1×(x﹣1)=﹣x+1,

設(shè)AC:y=x+b,

由方程組 ,

時,

A(x1,y1),C(x2,y2)的中點坐標為 =﹣ , ,

ABCD是菱形,所以AC的中點在BD上,所以

解得 ,滿足△=5﹣b2>0,所以AC的方程為y=x﹣


(3)解:因為四邊形ABCD為菱形,且 ,所以AB=AC=BC,所以菱形ABCD的面積 ,

由(2)可得AC2=(x2﹣x12+(y2﹣y22=2,

AC2=(x2﹣x12+(y2﹣y12=2(x2﹣x12=2(x2+x12﹣8x1x2=2× = ,

因為 ,所以當且僅當b=0時,菱形ABCD的面積取得最大值,最大值為


【解析】(1)依題意,b=1,解 ,得|y|= ,所以 ,由此能求出橢圓E的方程.(2)直線BD:y=﹣1×(x﹣1)=﹣x+1,設(shè)AC:y=x+b,由方程組 ,再由根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質(zhì)能推導(dǎo)出AC的方程.(3)因為四邊形ABCD為菱形,且 ,所以AB=AC=BC,所以菱形ABCD的面積 ,由AC2=(x2﹣x12+(y2﹣y12=2(x2﹣x12=2(x2+x12﹣8x1x2= ,能推導(dǎo)出當且僅當b=0時,菱形ABCD的面積取得最大值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用一般式方程和橢圓的標準方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握直線的一般式方程:關(guān)于的二元一次方程(A,B不同時為0);橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

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