Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3mx²+nx+m²．在x=-1處有極值0；
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=3x²+6mx+n，得方程組

f′(-1)=3-6m+n=0 f(-1)=-1+3m-n+m2=0

，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：①當m=1，n=3時f′（x）=3（x+1）²≥0恒成立，即x=-1不是f（x）的極值點，舍去．②當m=2，n=9時f′（x）=3（x+1）（x+3），所以f（x）在x=-1處有極值，故m=2，n=9；∴f（x）的減區(qū)間是（-3，-1）；增區(qū)間是（-∞，-3），（-1，+∞）．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+6mx+n
∴

f′(-1)=3-6m+n=0 f(-1)=-1+3m-n+m2=0

，
解得：

m=1 n=3

，或

m=2 n=9

，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
①當m=1，n=3時f′（x）=3（x+1）²≥0恒成立，
即x=-1不是f（x）的極值點，舍去．
②當m=2，n=9時f′（x）=3（x+1）（x+3），
當-3＜x＜-1時，f’（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x＞-1 或 x＜-3 時，f’（x）＞0，f（x）單調遞增，
所以f（x）在x=-1處有極值，故m=2，n=9；
∴f（x）的減區(qū)間是（-3，-1）；增區(qū)間是（-∞，-3），（-1，+∞）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，求函數(shù)的極值問題，導數(shù)的應用，是一道基礎題．